समाकलन int frac{dx}{(1 + sqrt{x}) cdot sqrt{x | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int \frac{dx}{(1 + \sqrt{x}) \sqrt{x} \sqrt{1 - x}}$.$1 + \sqrt{x} = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{1}{2\sqrt{x}} dx = dt$ प्राप्त होता

Vedclass · Accepted Answer

$ - 2\sqrt {\frac{{1 - \sqrt x }}{{1 +\sqrt x }}}  + c$

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int \frac{dx}{(1 + \sqrt{x}) \sqrt{x} \sqrt{1 - x}}$.$1 + \sqrt{x} = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{1}{2\sqrt{x}} dx = dt$ प्राप्त होता है,अतः $\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2 dt$.यहाँ $1 - x = 1 - (t - 1)^2 = 2t - t^2$.अतः $I = \int \frac{2 dt}{t \sqrt{2t - t^2}} = 2 \int \frac{dt}{t \sqrt{t(2 - t)}} = 2 \int \frac{dt}{t^{3/2} \sqrt{2 - t}}$.अब $t = \frac{1}{z}$ रखने पर,$dt = -\frac{1}{z^2} dz$ प्राप्त होता है।$I = 2 \int \frac{-dz/z^2}{(1/z)^{3/2} \sqrt{2 - 1/z}} = 2 \int \frac{-dz}{\sqrt{2z - 1}}$.$I = -2 \int (2z - 1)^{-1/2} dz = -2 \sqrt{2z - 1} + c$.$z = \frac{1}{1 + \sqrt{x}}$ का मान रखने पर:$I = -2 \sqrt{\frac{2}{1 + \sqrt{x}} - 1} + c = -2 \sqrt{\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}} + c$.

समाकलन $\int \frac{dx}{(1 + \sqrt{x}) \cdot \sqrt{x} \sqrt{1 - x}}$ का मान ज्ञात कीजिए (जहाँ $c$ एक समाकलन स्थिरांक है)

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यदि $\int \frac{1}{\cos 4x \cos 2x} dx = \frac{1}{2\sqrt{2}} \log \left(\frac{1+f(x)}{1-f(x)}\right) - \frac{1}{2} \log g(x) + C$ है,तो $g\left(\frac{\pi}{6}\right) - \sqrt{2} f\left(\frac{\pi}{6}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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